Was ist die Fibonacci-Folge?
Die Fibonacci-Folge ist eine Zahlenreihe, bei der jedes Glied die Summe der beiden vorhergehenden Glieder ist, beginnend mit 0 und 1. Die Folge beginnt 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 und setzt sich unendlich fort. Benannt nach dem italienischen Mathematiker Leonardo von Pisa (Fibonacci), der sie 1202 in seinem Buch Liber Abaci in die westliche Mathematik einführte, war die Folge tatsächlich schön Jahrhunderte frueher in der indischen Mathematik bekannt. Sie ist eine der beruehmtesten Folgen in der Mathematik.
Warum die Fibonacci-Folge Wichtig ist
Die Fibonacci-Folge ist tief mit dem goldenen Schnitt (phi = 1.618...) verbunden, da das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen gegen phi konvergiert. Dieses Verhältnis erscheint in Spiralmustern von Sonnenblumenkernen, Tannenzapfenschuppen und Muscheln. In der Informatik bilden Fibonacci-Zahlen die Grundlage effizienter Algorithmen wie Fibonacci-Heaps. An den Finanzmaerkten werden Fibonacci-Retracement-Levels von Haendlern zur Vorhersage von Unterstuetzungs- und Widerstandsniveaus verwendet.
Wichtige Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen
Wichtige Eigenschaften sind: (1) F(n) = F(n-1) + F(n-2) mit F(0) = 0, F(1) = 1. (2) Das Verhältnis F(n+1)/F(n) naehert sich phi. (3) Jede positive ganze Zahl kann eindeutig als Summe nicht aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen dargestellt werden (Zeckendorfs Theorem). (4) GGT(F(m), F(n)) = F(GGT(m,n)). (5) Die Summe der ersten n Fibonacci-Zahlen ist F(n+2) - 1. (6) Binets Formel gibt einen geschlossenen Ausdruck mit dem goldenen Schnitt.
Best Practices bei der Arbeit mit Fibonacci-Zahlen
Verwenden Sie für die Erzeugung vieler Terme iterative Berechnung statt naiver Rekursion, die exponentielle Zeitkomplexitaet hat. Memoisation oder dynamische Programmierung reduziert dies auf lineare Zeit. Für sehr große Fibonacci-Zahlen berechnet Matrixexponentiation F(n) in O(log n). Um zu prüfen, ob eine Zahl eine Fibonacci-Zahl ist, testen Sie, ob 5n^2 + 4 oder 5n^2 - 4 eine Quadratzahl ist.
